LINDA S., 16 r., KOŠICE:

Vzdialenosť UV som si označila y.
Pretože doprava po ceste je 2-krát drahšia ako po rieke, súčet x + 2y musí byť čo najmenší. Označila som si ho m. Teda platí x + 2y = m.
Z obrázka vidíme, že x = a – UV a podľa Pytagorovej vety z trojuholníka UVL máme:UV =  (y^2 - d^2)^1/2 . Teda x = a - (y^2 - d^2)^1/2

Po dosadení do rovnice x + 2y = m máme:
a - (y^2 - d^2)^1/2 + 2y = m
a – m + 2y =  (y^2 - d^2)^1/2
a^2 - 2am + m^2 + 4y(a - m) + 4y^2 = y^2 - d^2
a^2 - 2am + m^2 + 4ya – 4ym +4y^2 = y^2 - d^2
3 y^2 + y(4 (a -m)) + (a^2 + m^2- 2am + d^2) = 0
y = (- 4(a - m) ± (16(a - m)^2 – 4.3.( a^2 + m^2- 2am + d^2))^1/2). 1/6

Keďže yÎR musí byť diskriminant  nezáporný:

16(a - m)^2 – 12.( (a – m) ^2 + d^2) ³ 0
4(a - m)^2 – 12.d^2 ³ 0
(a - m)^2 – 3.d^2 ³ 0
(a - m)^2  ³ 3.d^2
Najmenšia hodnota m – a = dÖ3 ; m = dÖ3 + a

Po dosadení:
y = (- 4(a - m) ± 0). 1/6 = ( 4 dÖ3 ± 0 ). 1/6 = (2 dÖ3)/3 = 2.d/Ö3

Z x + 2y = m vyplýva:
x = m – 2y = m – 2. 2.d/Ö3 = dÖ3 + a – 4.d/Ö3 = d(Ö3 – 4/Ö3) + a = d(-1/Ö3) + a = a - d/Ö3

Cesta z Lužan k rieke povedie k miestu pri rieke, ktoré je od Riečan vzdialené a - d/Ö3 kilometrov.

späť